Introducción y descripción del curso

Teoría de modelos es una rama de la lógica matemática que estudia la relación entre estructuras matemáticas (grupos, campos, grafos, etc.) y los lenguajes lógicos que se usan para describirlos. El principal concepto es el de conjunto definible, que es el conjunto de soluciones de una fórmula de pri mer orden en una estructura, y puede verse como una abstracción del concepto de variedad algebraica.

La teoría de modelos tiene sus orígenes en el teorema de completitud de Gödel, y en el teorema de compacidad (Gödel/Malcev). Algunos de los primeros resultados tienen que ver con encontrar modelos de ciertas teorías en cardinalidades arbitrarias (Löwenheim-Skolem) y la construcción de ultraproductos. En las décadas de 1950 y 1960, gracias a los trabajos de Tarski, Robinson y Ax, se encontraron aplicaciones de teoría de modelos en álgebra, particularmente en campos real-cerrados, campos diferencialmente cerrados, y principios de transferencia en anillos henselianos.

En este curso describiremos los resultados mencionados anteriormente, poniendo mucho énfasis en ejemplos y aplicaciones en otras áreas de las matemáticas. Por ejemplo, daremos una descripción modelo-teórica del cuerpo ordenado de los números reales y mostraremos cómo pueden ser usados para obtener una caracterización de funciones racionales positivas semi-definidas, lo que da una so- lución al Problema 17 de Hilbert.

Uno de los principales resultados será el principio de transferencia de categoricidad, ó Teorema de Morley: Si T es una teoría completa en un lenguaje contable con un único modelo (módulo isomorfismo) en algún cardinal no-contable, entonces T tiene exactamente un modelo de cardinalidad κ para todo cardinal no contable κ.

Prerequisitos

Es deseable tener conocimientos en álgebra abstracta (grupos y campos), lógica y topología. Sin embargo, los prerrequisitos necesarios serán introducidos en el curso.

Contenido

  • Herramientas básicas: Lenguajes y Estructuras. Teorías. Conjuntos definibles e interpreta- bilidad. Equivalencia elemental y sub-estructuras elementales. Test de Tarski-Vaught. Teorema de completitud y teorema de compacidad. Teorías completas. Teoremas de Löwenheim-Skolem. Test de categoricidad de Vaught. Back & Forth. Teorema de Steinitz.
  • Ultraproductos: La construcción de ultraproductos. Teorema de Łoś. Principios de transfe- rencia. Teorema de Ax-Grothendieck. Anillos locales y henselianos. Principio de Ax-Kochen.
  • Eliminación de cuantificadores: Teoremas de preservación. Eliminación de cuantificadores. Ejemplos en Álgebra: eliminación de cuantificadores en campos algebraicamente cerrados y campos real cerrados.
  • Tipos y modelos contables: Tipos. Espacio de tipos (espacio de Stone). Teorema de omisión de tipos y modelos primos. Teorías ω-categóricas. Teorema de Ryll-Nardzewski.
  • Teorías ω-estables: Indiscernibles. Teorías ω-estables. Rango de Morley. Teorema de Lachlan. Pares de Vaught. Teorema de Categoricidad de Morley. Fórmulas algebraicas. Conjuntos fuer- temente minimales. Campos diferencialmente cerrados.
  • Pregeometrías: Dimensión. Modularidad. Geometrías asociadas a una pregeometría. Curvas planas y linearidad.